bài 1 cái phàn tính tích phân như nào thầy ?.

thầy ơi cho e hỏi công thức tính hàm mật độ xác suất tính thế nào ạ
thầy có thể làm chi tiết phần a bài bài 4 được ko ạ

thầy ơi, câu 3 ý b áp dụng công thức gì ạ

thầy ơi phần chương 3 này e thấy có ít bài tập liên quan liệu có thi k ạ thầy ơi? e chỉ muốn hỏi để tổng kết lại phần kiến thức đã ôn thôi ạ. e cảm ơn thầy ạ

Thầy ơi bài cho : F(XY) = k nếu 0< x+y <1 ;x>0;y>0 và = 0 nếu ngược lại ..thì k tìm kiểu gì ah ?

Đây em
a) Đặt
$$D=\{(x, y)\in\Bbb{R}^2: 0<x+y<1, x\geq 0, y\geq 0\}.$$
Khi đó $D$ là tam giác vuông cân có độ dài cạnh bằng $1$ nên $D$ có diện tích là $S_D=\displaystyle\frac{1}{2}.$
Ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2}f(x, y)dxdy&=\displaystyle\iint\limits_{D}f(x, y)dxdy
+\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2\backslash D}f(x, y)dxdy\\
&=\displaystyle\iint\limits_{D}kxdxdy
+\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2\backslash D}0dxdy\\
&=k\displaystyle\iint\limits_{D}dxdy\\
&=kS_D\\
&=\displaystyle\frac{k}{2}.
\end{aligned}
\end{equation}
Từ $\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2}f(x, y)dxdy=1$, ta suy ra $k=2.$
b) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên $X$ là
$$f_X(x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy.$$
Nếu $x\leq 0$ hoặc $x\geq 1$ thì $f(x, y)=0$ với mọi $y\in\Bbb R$, do đó
$$f_X(x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}0dy=0.$$
Nếu $0<x<1$, ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
f_X(x)&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x, y)dy+\displaystyle\int\limits_{0}^{1-x}f(x, y)dy+\displaystyle\int\limits_{1-x}^{+\infty}f(x, y)dy\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dy+\displaystyle\int\limits_{0}^{1-x}kdy+\displaystyle\int\limits_{1-x}^{+\infty}0dy\\
&=0+(ky)\Big|_{y=0}^{y=1-x}+0\\
&=k(1-x)\\
&=2(1-x).
\end{aligned}
\end{equation}
Vậy
$$f_X(x)=
\begin{cases}
2(1-x) & \mbox{ khi $0<x<1$},\\
0 & \mbox{ khi $x\notin (0; 1)$}.
\end{cases}$$
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên $Y$ là
$$f_Y(y)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx.$$
Nếu $y\leq 0$ hoặc $y\geq 1$ thì $f(x, y)=0$ với mọi $x\in\Bbb R$, do đó
$$f_Y(y)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}0dx=0.$$
Nếu $0<y<1$, ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
f_Y(y)&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x, y)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1-y}f(x, y)dx+\displaystyle\int\limits_{1-y}^{+\infty}f(x, y)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1-y}kdx+\displaystyle\int\limits_{1-y}^{+\infty}0dx\\
&=0+(kx)\Big|_{x=0}^{x=1-y}+0\\
&=k(1-y)\\
&=2(1-y)\\
\end{aligned}
\end{equation}
Vậy
$$f_Y(y)=
\begin{cases}
2(1-y) & \mbox{ khi $0<y<1$},\\
0 & \mbox{ khi $y\notin (0; 1)$}.
\end{cases}$$

Cho vectơ ngẫu nhiên $(X, Y)$ có hàm mật độ xác suất
$$f(x, y)=
\begin{cases}
kx & \mbox{ nếu $0<y<x<1$},\\
0 & \mbox{ nếu trái lại}.\\
\end{cases}$$
a) Tìm hằng số $k$.
b) Tìm hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên $X$, $Y$.
c) Tính $\Bbb P\Big(0<X\leq\displaystyle\frac{1}{2}; 0<Y\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)$.
Lời giải:
a) Đặt
$$D=\{(x, y)\in\Bbb{R}^2: 0<y<x<1\}.$$
Ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2}f(x, y)dxdy&=\displaystyle\iint\limits_{D}f(x, y)dxdy
+\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2\backslash D}f(x, y)dxdy\\
&=\displaystyle\iint\limits_{D}kxdxdy
+\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2\backslash D}0dxdy\\
&=k\displaystyle\iint\limits_{D}xdxdy.
\end{aligned}
\end{equation}
Từ $\displaystyle\iint\limits_{\Bbb{R}^2}f(x, y)dxdy=1$, ta suy ra $k\displaystyle\iint\limits_{D}xdxdy=1$.\\
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
\displaystyle\iint\limits_{D}xdxdy&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(\displaystyle\int\limits_{0}^{x}xdy)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\Big[(xy)\Big|_{y=0}^{y=x}\Big]dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2dx\\
&=\displaystyle\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{1}\\
&=\displaystyle\frac{1}{3}.
\end{aligned}
\end{equation}
Do đó $\displaystyle\frac{k}{3}=1$ hay $k=3$.

b) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên $X$ là
$$f_X(x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy.$$
Nếu $x\leq 0$ hoặc $x\geq 1$ thì $f(x, y)=0$ với mọi $y\in\Bbb R$, do đó
$$f_X(x)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}0dy=0.$$
Nếu $0<x<1$, ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
f_X(x)&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x, y)dy+\displaystyle\int\limits_{0}^{x}f(x, y)dy+\displaystyle\int\limits_{x}^{+\infty}f(x, y)dy\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dy+\displaystyle\int\limits_{0}^{x}kxdy+\displaystyle\int\limits_{x}^{+\infty}0dy\\
&=0+(kxy)\Big|_{y=0}^{y=x}+0\\
&=kx^2\\
&=3x^2.
\end{aligned}
\end{equation}
Vậy
$$f_X(x)=
\begin{cases}
3x^2 & \mbox{ khi $0<x<1$},\\
0 & \mbox{ khi $x\notin (0; 1)$}.
\end{cases}$$
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên $Y$ là
$$f_Y(y)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx.$$
Nếu $y\leq 0$ hoặc $y\geq 1$ thì $f(x, y)=0$ với mọi $x\in\Bbb R$, do đó
$$f_Y(y)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}0dx=0.$$
Nếu $0<y<1$, ta có
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
f_Y(y)&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{y}f(x, y)dx+\displaystyle\int\limits_{y}^{1}f(x, y)dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}f(x, y)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{y}0dx+\displaystyle\int\limits_{y}^{1}kxdx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}0dx\\
&=0+\Big(\displaystyle\frac{kx^2}{2}\Big)\Big|_{x=y}^{x=1}+0\\
&=\displaystyle\frac{k-ky^2}{2}\\
&=\displaystyle\frac{3}{2}(1-y^2).
\end{aligned}
\end{equation}
Vậy
$$f_Y(y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{3}{2}(1-y^2) & \mbox{ khi $0<y<1$},\\
0 & \mbox{ khi $y\notin (0; 1)$}.
\end{cases}$$

c)
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P\Big(0<X\leq\displaystyle\frac{1}{2}; 0<Y\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)&=\Bbb P\Big(0<X\leq Y\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)\\
&\;\;\;\;\;+\Bbb P\Big(0<Y<X\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big).
\end{aligned}
\end{equation*}
Đặt
$$V=\Big\{(x, y)\in\Bbb R^2: 0<x\leq y<\displaystyle\frac{1}{2}\Big\}.$$
Khi đó với mọi $(x, y)\in V,$ ta có $f(x, y)=0.$ Do đó
\begin{equation}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P\Big(0<X\leq Y\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)&=\Bbb P((X, Y)\in V)\\
&=\displaystyle\iint\limits_{V}f(x, y)dxdy\\
&=\displaystyle\iint\limits_{V}0dxdy\\
&=0.
\end{aligned}
\end{equation}
Đặt
$$W=\Big\{(x, y)\in\Bbb R^2: 0<y<x\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big\}.$$
Khi đó
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P\Big(0<Y<X\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)&=\Bbb P((X, Y)\in W)\\
&=\displaystyle\iint\limits_{W}f(x, y)dxdy\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{\textstyle\frac{1}{2}}\Big(\displaystyle\int\limits_{0}^{x}f(x, y)dy\Big)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{\textstyle\frac{1}{2}}\Big(\displaystyle\int\limits_{0}^{x}kxdy\Big)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{\textstyle\frac{1}{2}}\Big((kxy)\Big|_{y=0}^{y=x}\Big)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{\textstyle\frac{1}{2}}kx^2dx\\
&=\Big(\displaystyle\frac{kx^3}{3}\Big)\Big|_0^{\textstyle\frac{1}{2}}\\
&=\displaystyle\frac{k}{24}\\
&=\displaystyle\frac{1}{8}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Do đó
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P\Big(0<X\leq\displaystyle\frac{1}{2}; 0<Y\leq\displaystyle\frac{1}{2}\Big)&=0+\displaystyle\frac{1}{8}\\
&=\displaystyle\frac{1}{8}.
\end{aligned}
\end{equation*}

thầy ơi,bài 1 ý b sai ạ

Thầy ơi thầy giải bài 3 giúp em với ạ

Thầy có giải bài 3 giúp em được không ạ