Bài 2: Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ

Giả sử tổng thể gồm hai loại phần tử, có tính chất $A$ và không có tính chất $A$, trong đó tỷ lệ phần tử có tính chất $A$ là $p$ chưa biết. Tỷ lệ phần tử mang tính chất $A$ là $p$ chưa biết song có cơ sở giả thiết rằng giá trị của nó bằng $p_0$, ta đưa ra giả thuyết thống kê $H_0: p=p_0.$
Với mức ý nghĩa $\alpha$ cho trước, ta xây dựng miền bác bỏ phụ thuộc vào giả thuyết đối $H_1$ như sau:
Bài toán $1$: $H_0: p=p_0;\;H_1: p\neq p_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty).$$ Bài toán $2$: $H_0: p=p_0;\;H_1: p > p_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=[u_{\alpha}; +\infty).$$ Bài toán $3$: $H_0: p=p_0;\;H_1: p < p_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -u_{\alpha}].$$ Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(f-p_0)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}.$$ Ta xét xem $u_{\text{qs}}$ có thuộc miền bác bỏ $W_\alpha$ không để kết luận:
$\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$ thì ta bác bỏ $H_0$, thừa nhận $H_1.$
$\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha$ thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở để thừa nhận giả thuyết $H_1.$
Ví dụ 1: Tỷ lệ khách hàng trở lại sử dụng dịch vụ của công ty là $60\%$. Có ý kiến cho rằng tỷ lệ này giảm do chính sách hậu mãi của công ty không tốt. Theo dõi ngẫu nhiên $300$ khách hàng thấy có $162$ khách hàng trở lại sử dụng dịch vụ của công ty. Hãy kết luận ý kiến trên với mức ý nghĩa $\alpha=0,025.$
Lời giải:
Ta kiểm định giả thuyết $H_0: p=0,6;\;H_1: p<0,6.$
Ta có $\alpha=0,025,$ khi đó $u_\alpha=1,96.$
Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=(-\infty; -u_\alpha]\\ &=(-\infty; -1,96]. \end{aligned} \end{equation} Ta có $$f=\displaystyle\frac{162}{300}=0,54.$$ Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(f-p_0)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}=\displaystyle\frac{(0,54-0,6)\sqrt{300}}{\sqrt{0,6\times(1-0,6)}}\approx -2,12.$$ Ta thấy $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$. Do đó ta bác bỏ $H_0: p=0,6,$ thừa nhận $H_1: p<0,6.$ Vậy số khách hàng quay trở lại công ty có giảm.
Ví dụ 2: Điều tra doanh thu (tính theo triệu đồng) hàng tháng của $100$ hộ kinh doanh thu được bảng số liệu:

\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Doanh thu}\; & 80 & 85 & 90 & 95 & 100 & 105 & 110 & 115 & 120 & 125\\ \hline \text{Số hộ}\; & 2 & 3 & 8 & 15 & 25 & 18 & 12 & 10 & 6 & 1\\ \hline \end{array}

a) Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy doanh thu trung bình với độ tin cậy $95\%.$
b) Tỷ lệ các hộ kinh doanh có doanh số trung bình hàng tháng dưới $100$ triệu của năm ngoái là $30\%$, có ý kiến cho rằng năm nay tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh số dưới $100$ triệu thấp hơn so với năm ngoái. Hãy kiểm định ý kiến trên với mức ý nghĩa $\alpha=0,025.$
Lời giải:
a) Từ bảng số liệu trên ta tính được $$\overline{x}=102,65; s\approx 9,47.$$ Ta có $1-\alpha=0,95$, do đó $\alpha=0,05$ hay $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025$. Từ đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Độ chính xác $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{9,47}{\sqrt{100}}\approx 1,86.$$ Vậy khoảng tin cậy doanh thu trung bình \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon; \overline{x}+\varepsilon)&=(102,65-1,86; 102,65+1,86)\\ &=(100,79; 104,51). \end{aligned} \end{equation} b) Ta kiểm định giả thuyết $H_0: p=0,3;\;H_1: p<0,3.$
Ta có $\alpha=0,025$, do đó $u_\alpha=1,96.$
Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=(-\infty; -u_\alpha]\\ &=(-\infty; -1,96]. \end{aligned} \end{equation} Ta có $$f=\displaystyle\frac{2+3+8+15}{100}=0,28.$$ Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(f-p_0)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}=\displaystyle\frac{(0,28-0,3)\sqrt{100}}{\sqrt{0,3\times(1-0,3)}}\approx -0,436.$$ Ta thấy $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha$. Do đó ta chưa có cơ sở bác bỏ $H_0$, tức là chưa có cơ sở thừa nhận $H_1: p<0,3$. Vậy ý kiến không đúng.