Bài 2: Phép thử ngẫu nhiên, biến cố

1) Phép thử ngẫu nhiên
$\bullet$ Ta hiểu phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một quan sát nào đó mà ta biết tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tuy nhiên ta không biết kết quả nào sẽ xảy ra trong các kết quả đó.
$\bullet$ Tung một đồng xu cân đối và đồng chất là một phép thử ngẫu nhiên.
2) Không gian mẫu
$\bullet$ Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu và được ký hiệu là $\Omega.$
$\bullet$ Mỗi kết quả $\omega\in\Omega$ được gọi là một biến cố sơ cấp và được ký hiệu là $\omega.$
Ví dụ 1:
Tung một đồng xu cân đối đồng chất là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $$\Omega=\{S, N\},$$ trong đó $S$ là kết quả: "Mặt sấp xuất hiện" và $N$ là kết quả: "Mặt ngửa xuất hiện".
3) Biến cố
$\bullet$ Mỗi sự kiện $A$ được đồng nhất với tập hợp $\Omega_A$ là tập hợp các kết quả làm cho sự kiện $A$ xảy ra. Ta gọi $A$ là một biến cố.
$\bullet$ Biến cố $A$ là tập hợp các kết quả làm cho $A$ xảy ra.
$\bullet$ Ta thường dùng các chữ cái in hoa $A, B, C,\ldots$ để ký hiệu biến cố.
Ví dụ 2:
Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $$\Omega=\{(i, j): 1\leq i, j\leq 6\},$$ trong đó $(i, j)$ là kết quả: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt $i$ chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt $j$ chấm".
Gọi $A$ là biến cố: "Tổng số chấm trên hai lần tung bằng $8$". Khi đó $A$ xảy ra khi một trong các kết quả $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$ xảy ra.
Do đó $$A=\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}.$$ 4) Các loại biến cố
$\bullet$ Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu $\Omega.$
$\bullet$ Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất, gọi $A$ là biến cố: “Con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm $\leq 6$” thì $A$ là biến cố chắc chắn.
$\bullet$ Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là $\emptyset.$
$\bullet$ Khi tung một con xúc sắc, gọi $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt $8$ chấm” thì $B$ là biến cố không thể.
5) Quan hệ giữa các biến cố
$\bullet$ Biến cố $A$ được gọi là kéo theo biến cố $B$ và ký hiệu $A\subset B$ nếu $A$ xảy ra thì $B$ xảy ra.
$\bullet$ Biến cố $B$ được gọi là biến cố đối của biến cố $A$ nếu $A$ xảy ra khi và chỉ khi $B$ không xảy ra. Biến cố đối của biến cố $A$ được kí hiệu là $\overline{A}.$
$\bullet$ Tổng của các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ được ký hiệu là $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$, là một biến cố xảy ra khi ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ xảy ra.
$\bullet$ Tích của các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là một biến cố xảy ra khi tất cả các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ cùng xảy ra. Tích của các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ được ký hiệu là $A_1A_2\ldots A_n.$
$\bullet$ Hai biến cố $A$ và $B$ gọi là tương đương nếu $A\subset B$ và $B\subset A$. Khi đó ta kí hiệu $A=B.$
$\bullet$ Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là $AB$ là biến cố không thể, $AB=\emptyset.$
$\bullet$ Hai biến cố $A, B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.
$\bullet$ Các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ $k$ biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của nhóm các biến cố còn lại.
Nhận xét:
$\bullet$ Nếu hai biến cố $A$, $B$ đối nhau thì sẽ xung khắc với nhau. Ngược lại không đúng.
$\bullet$ Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất, gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\geq 4$”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\leq 2$”. Ta thấy hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố $A$, $B$ không đối nhau vì khi xuất hiện mặt có số chấm bằng $3$ thì cả $A$ và $B$ đều không xảy ra.
$\bullet$ Nếu các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là độc lập thì các biến cố $B_1, B_2,\ldots, B_n$ cũng độc lập, trong đó $B_k$ là biến cố $A_k$ hoặc $\overline{A_k}$ với mọi $k=1,2,\ldots,n.$