Bài 1: Ước lượng khoảng cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Giả sử biến ngẫu nhiên $X$ có phân bố chuẩn nhưng ta chưa biết kỳ vọng $\Bbb E(X)=\mu$ của $X.$ Ta tìm khoảng tin cậy của $\mu.$
Trường hợp $1$: Biết phương sai $\sigma^2$ hay biết độ lệch tiêu chuẩn $\sigma.$
Khoảng tin cậy của $\mu$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là $$(\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon),$$ trong đó $u_{\frac{\alpha}{2}}$ là giá trị tới hạn chuẩn mức $\displaystyle\frac{\alpha}{2}$ của phân bố chuẩn tắc, $\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ là độ chính xác.
Ví dụ 1: Khối lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn $\sigma=1.$ Cân thử $25$ sản phẩm ta thu được kết quả sau \begin{array}{| c| c| c| c| c| }\hline \text{Khối lượng}\; & 18 & 19 & 20 & 21\\ \hline \text{Số sản phẩm}\; & 3 & 5 & 15 & 2\\ \hline \end{array} Hãy ước lượng khối lượng trung bình của sản phẩm bằng khoảng tin cậy với độ tin cậy $\beta=95\%.$
Lời giải:
Ta lập bảng \begin{array}{| c| c| c| }\hline x_i & r_i & r_ix_i\\ \hline \hline 18 & 3 & 54\\ \hline 19 & 5 & 95\\ \hline 20 & 15 & 300\\ \hline 21 & 2 & 42\\ \hline \sum & 25 & 491\\ \hline \end{array} Ta có $\overline{x}=\displaystyle\frac{491}{25}=19,64.$
Độ tin cậy $1-\alpha=0,95,$ suy ra $\alpha=0,05$. Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025.$ Tra bảng ta được $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{1}{\sqrt{25}}=\displaystyle\frac{1,96}{5}=0,392.$$ Khoảng tin cậy cho khối lượng trung bình của sản phẩm \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(19,64-0,392; 19,64+0,392)\\ &=(19,248; 20,032). \end{aligned} \end{equation} Trường hợp $2$: $n\geq 30,$ phương sai chưa biết.
Khoảng tin cậy của $\mu$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là $$(\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon),$$ trong đó $u_{\frac{\alpha}{2}}$ là giá trị tới hạn chuẩn mức $\displaystyle\frac{\alpha}{2}$ của phân bố chuẩn tắc, $\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}$ là độ chính xác.
Ví dụ 2: Trọng lượng (tính bằng gram) của một loại sản phẩm là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Cân thử $100$ sản phẩm loại này ta thu được kết quả

\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Trọng lượng}\; & 40-42 & 42-44 & 44-46 & 46-48 & 48-50 & 50-52\\ \hline \text{Số sản phẩm}\; & 7 & 13 & 25 & 35 & 15 & 5\\ \hline \end{array}

Với độ tin cậy $95\%$, hãy tìm khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm trên.
Lời giải:
Thực hiện phép đổi biến $u_i=\displaystyle\frac{x_i^0-47}{2}$ với $x_0=47$ và $h=2$.
Ta có bảng tính sau \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline x_i-x_{i+1} & x_i^0 & r_i & u_i & r_iu_i & r_iu_i^2\\ \hline \hline 40-42 & 41 & 7 & -3 & -21 & 63\\ \hline 42-44 & 43 & 13 & -2 & -26 & 52\\ \hline 44-46 & 45 & 25 & -1 & -25 & 25\\ \hline 46-48 & 47 & 35 & 0 & 0 & 0\\ \hline 48-50 & 49 & 15 & 1 & 15 & 15\\ \hline 50-52 & 51 & 5 & 2 & 10 & 20\\ \hline \hline \sum & & 100 & & -47 & 175\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{u}&=\displaystyle\frac{-47}{100}=-0,47,\\ \overline{x}&=x_0+h\overline{u}=47+2\times (-0,47)=46,06,\\ s_u^2&=\displaystyle\frac{1}{99}\Big(175-\displaystyle\frac{(-47)^2}{100}\Big)=\displaystyle\frac{15291}{9900},\\ s^2&=h^2s_u^2=2^2\times\displaystyle\frac{15291}{9900}=\displaystyle\frac{15291}{2475},\\ s&=\sqrt{\displaystyle\frac{15291}{2475}}\approx 2,49. \end{aligned} \end{equation} Độ tin cậy $95\%$, suy ra $1-\alpha=0,95$ hay $\alpha=0,05$. Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025,$ do đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{2,49}{\sqrt{100}}\approx 0,49.$$ Khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(46,06-0,49; 46,06+0,49)\\ &=(45,57; 46,55). \end{aligned} \end{equation} Trường hợp $3$: $n<30$, phương sai chưa biết.
Khoảng tin cậy với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là $$(\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon),$$ trong đó $\varepsilon=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}$, $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ là giá trị tới hạn Student với $n-1$ bậc tự do mức $\displaystyle\frac{\alpha}{2}.$
Ví dụ 3: Để ước lượng tuổi thọ trung bình một loại sản phẩm, người ta chọn ra $26$ sản phẩm và thu được kết quả sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c|}\hline \text{Tuổi thọ (giờ)}\; & 190 & 195 & 198 & 200 & 204 & 205\\ \hline \text{Số sản phẩm}\; & 5 & 4 & 2 & 8 & 6 & 1\\ \hline \end{array} Giả sử tuổi thọ sản phẩm tuân theo phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của sản phẩm trên với độ tin cậy $95\%.$
Lời giải:
Ta tính được $\overline{x}=198,27; s\approx 5,103.$
Theo đầu bài độ tin cậy $1-\alpha=0,95$, suy ra $\alpha=0,05$. Tra bảng ta được $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0,025}(25)=2,060.$
Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=2,060\times\displaystyle\frac{5,103}{\sqrt{26}}\approx 2,06.$$ Vậy khoảng tin cậy về tuổi thọ trung bình của sản phẩm \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(198,27-2,06; 198,27+2,06)\\ &=(196,21; 200,33). \end{aligned} \end{equation}