Bài 2: Ước lượng tỷ lệ

$\bullet$ Giả sử tổng thể ta đang nghiên cứu gồm $N$ phần tử, trong đó có $M$ phần tử có tính chất $A$ nào đó. Khi đó $p=\displaystyle\frac{M}{N}$ là tỷ lệ các phần tử có tính chất $A$ của tổng thể. Thông thường $p$ chưa biết, cần ước lượng $p.$
$\bullet$ Gọi $f$ là tỷ lệ phần tử mang tính chất $A$ trong mẫu kích thước $n$ chọn ra từ tổng thể.
Đặt $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}.$$ Khoảng tin cậy cho tỷ lệ phần tử mang tính chất $A$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là $(f-\varepsilon, f+\varepsilon).$
Điều kiện của $n$ và $f$ $$\begin{cases} nf>10\\ n(1-f)>10 \end{cases}$$ Ví dụ 1: Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra $200$ sản phẩm thì thấy có $182$ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng.
a) Với độ tin cậy $95\%$, hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng của lô hàng.
b) Giả sử lô hàng có $6000$ sản phẩm, với độ tin cậy $95\%$ hãy ước lượng số sản phẩm đạt yêu cầu của cả lô hàng.
Lời giải:
a) Ta có $n=200,$ $f=\displaystyle\frac{182}{200}=0,91.$
Ta thấy $$\begin{cases} nf=182>10\\ n(1-f)=18>10 \end{cases}$$ Độ tin cậy $1-\alpha=0,95$, suy ra $\alpha=0,05$. Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025$. Tra bảng ta được $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}=1,96\times\sqrt{\displaystyle\frac{0,91(1-0,91)}{200}}\approx 0,04.$$ Khoảng tin cậy cho tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng của lô hàng \begin{equation}\notag \begin{aligned} (f-\varepsilon; f+\varepsilon)&=(0,91-0,04; 0,91+0,04)\\ &=(0,87; 0,95). \end{aligned} \end{equation} b) Gọi $N$ là số sản phẩm đạt yêu cầu của cả lô hàng. Khi đó tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu chất lượng của lô hàng là $\displaystyle\frac{N}{6000}.$
Theo câu a) ta có $$0,87 < \displaystyle\frac{N}{6000} < 0,95\Longleftrightarrow 5220 < N < 5700.$$