Bài 4: Xác suất có điều kiện

1) Định nghĩa xác suất có điều kiện
$\bullet$ Có những lúc ta cần tính xác suất của biến cố $A$ khi một biến cố $B$ khác đã xảy ra với xác suất dương. Ta gọi đó là xác suất có điều kiện của biến cố $A$ khi biến cố $B$ đã xảy ra và ký hiệu là $\Bbb P(A|B).$
$\bullet$ Ta có $$\Bbb P(A|B)=\displaystyle\frac{\Bbb P(AB)}{\Bbb P(B)},\;\Bbb P(B)>0.$$ 2) Các tính chất của xác suất có điều kiện
Với các điều kiện để xác suất có điều kiện tồn tại, ta có
$\bullet$ $$\Bbb P(\overline{A}|B)=1-\Bbb P(A|B).$$ $\bullet$ $$\Bbb P(B|A)=\displaystyle\frac{\Bbb P(B)\Bbb P(A|B)}{\Bbb P(A)}.$$ 3) Công thức nhân xác suất
$\bullet$ Cho $\Bbb P(B)>0$, khi đó ta có $$\Bbb P(AB)=\Bbb P(B)\Bbb P(A|B).$$ $\bullet$ Cho $\Bbb P(A)>0$, khi đó ta có $$\Bbb P(AB)=\Bbb P(A)\Bbb P(B|A).$$ $\bullet$ Cho $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố sao cho $\Bbb P(A_1A_2\ldots A_{n-1})>0$. Khi đó $$\Bbb P(A_1A_2\ldots A_{n})=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2 | A_1)\Bbb P(A_3 | A_1A_2)\ldots\Bbb P(A_n | A_1A_2\ldots A_{n-1}).$$ Khi $n=3$, ta có $$\Bbb P(A_1A_2A_3)=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2 | A_1)\Bbb P(A_3 | A_1A_2).$$ Ví dụ 1:
Cho hai biến cố $A$, $B$ có xác suất $\Bbb P(A)=0,4$, $\Bbb P(B)=0,6$, $\Bbb P(AB)=0,2$. Hãy tính các xác suất sau:
a) $\Bbb P(A|B).$
b) $\Bbb P(A\cup B).$
c) $\Bbb P(\overline{A}|\overline{B}).$
d) $\Bbb P(A\overline{B}).$
Lời giải:
a) Theo định nghĩa xác suất có điều kiện \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A|B)&=\displaystyle\frac{\Bbb P(AB)}{\Bbb P(B)}\\ &=\displaystyle\frac{0,2}{0,6}\\ &=\displaystyle\frac{1}{3}. \end{aligned} \end{equation} b) Theo tính chất của xác suất ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A\cup B)&=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)-\Bbb P(AB)\\ &=0,4+0,6-0,2\\ &=0,8. \end{aligned} \end{equation} c) Theo tính chất của xác suất có điều kiện \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A}|\overline{B})&=1-\Bbb P(A|\overline{B})\\ &=1-\displaystyle\frac{\Bbb P(A)\Bbb P(\overline{B}|A)}{\Bbb P(\overline{B})}\\ &=1-\displaystyle\frac{\Bbb P(A)\Bbb P(\overline{B}|A)}{1-\Bbb P(B)}. \end{aligned} \end{equation} Mặt khác \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{B}|A)&=1-\Bbb P(B|A)\\ &=1-\displaystyle\frac{\Bbb P(BA)}{\Bbb P(A)}\\ &=1-\displaystyle\frac{\Bbb P(AB)}{\Bbb P(A)}\\ &=1-\displaystyle\frac{0,2}{0,4}\\ &=0,5. \end{aligned} \end{equation} Do đó \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A}|\overline{B})&=1-\displaystyle\frac{0,4\times 0,5}{1-0,6}\\ &=0,5. \end{aligned} \end{equation} d) Theo công thức nhân xác suất \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A\overline{B})&=\Bbb P(A)\Bbb P(\overline{B}|A)\\ &=0,4\times 0,5\\ &=0,2. \end{aligned} \end{equation} Ví dụ 2:
Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng thỏ là $0,5$, nếu bị trượt anh ta bắn viên thứ $2$ ở khoảng cách $30m$, nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ $3$ ở khoảng cách $50m$. Tính xác suất để người thợ săn bắn được thỏ.
Lời giải:
Gọi $A_k$ là biến cố: "Người thợ săn bắn trúng thỏ ở lần thứ $k$", $k=1,2,3.$
Theo đầu bài ta có \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A_1)&=0,5,\\ \Bbb P(A_2|\overline{A_1})&=\displaystyle\frac{20\times 0,5}{30}=\displaystyle\frac{1}{3},\\ \Bbb P(A_3|\overline{A_1}.\overline{A_2})&=\displaystyle\frac{20\times 0,5}{50}=\displaystyle\frac{1}{5}. \end{aligned} \end{equation*} Gọi $A$ là biến cố: "Người thợ săn bắn trúng thỏ". Khi đó $$A=A_1\cup \overline{A_1}A_2\cup\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3.$$ Vì $3$ biến cố $A_1$, $\overline{A_1}A_2$, $\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3$ xung khắc từng đôi nên $$\Bbb P(A)=\Bbb P(A_1)+\Bbb P(\overline{A_1}A_2)+\Bbb P(\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3).$$ Theo công thức nhân xác suất \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A_1}A_2)&=\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(A_2|\overline{A_1})\\ &=[1-\Bbb P(A_1)]\Bbb P(A_2|\overline{A_1})\\ &=(1-0,5)\times\displaystyle\frac{1}{3}\\ &=\displaystyle\frac{1}{6}. \end{aligned} \end{equation*} Theo công thức nhân xác suất \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3)&=\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(\overline{A_2}|\overline{A_1})\Bbb P(A_3|\overline{A_1}.\overline{A_2})\\ &=(1-\Bbb P(A_1))(1-\Bbb P(A_2|\overline{A_1})\Bbb P(A_3|\overline{A_1}.\overline{A_2})\\ &=(1-0,5)\Big(1-\displaystyle\frac{1}{3}\Big)\times\displaystyle\frac{1}{5}\\ &=\displaystyle\frac{1}{15}. \end{aligned} \end{equation*} Do đó \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=0,5+\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{1}{15}\\ &=\displaystyle\frac{11}{15}. \end{aligned} \end{equation*} 4) Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
Hệ các biến cố $\{B_1, B_2,\ldots, B_n\}$ được gọi là đầy đủ nếu
a) $B_1, B_2,\ldots, B_n$ là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là $B_iB_j=\emptyset$ với mọi $i\neq j,$
b) $\Omega=B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n.$
$\bullet$ Điều kiện a) có nghĩa là không có hai biến cố nào trong $n$ biến cố $B_1, B_2,\ldots, B_n$ cùng xảy ra.
$\bullet$ Điều kiện b) có nghĩa là khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên thì có ít nhất một biến cố trong $n$ biến cố $B_1, B_2,\ldots, B_n$ xảy ra.
$\bullet$ Kết hợp hai điều kiện a) và b) trên, ta có thể kết luận rằng hệ các biến cố $\{B_1, B_2,\ldots, B_n\}$ được gọi là đầy đủ nếu khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên thì có duy nhất một biến cố trong $n$ biến cố $B_1, B_2,\ldots, B_n$ xảy ra.
Công thức xác suất đầy đủ:
Giả sử $\{B_1, B_2,\ldots, B_n\}$ là hệ đầy đủ các biến cố với $\Bbb P(B_k)>0$ với mọi $k=1,2,\ldots,n$. Khi đó với bất kỳ biến cố $A$, ta có $$\Bbb P(A)=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A | B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A | B_2)+\cdots+\Bbb P(B_n)\Bbb P(A | B_n).$$ Công thức Bayes:
Giả sử $\Bbb P(A)>0$ và $\{B_1, B_2,\ldots, B_n\}$ là hệ đầy đủ các biến cố với $\Bbb P(B_k)>0$ với mọi $k=1,2,\ldots,n$. Khi đó $$\Bbb P(B_k | A)=\displaystyle\frac{\Bbb P(B_k)\Bbb P(A | B_k)}{\Bbb P(A)}, k=1,2,\ldots,n,$$ trong đó $\Bbb P(A)$ được tính theo công thức xác suất đầy đủ.
Ví dụ 3:
Có $10$ lọ hóa chất trong đó có $4$ lọ loại I, $6$ lọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất $0,9$, nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất $0,5.$
a) Lấy ngẫu nhiên $1$ lọ hóa chất để sử dụng, tìm xác suất để lọ hóa chất này có kết quả tốt.
b) Tìm xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I.
Lời giải:
a) Gọi $B_1$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", $B_2$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", $A$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt". Ta thấy $\{B_1, B_2\}$ là hệ đầy đủ các biến cố và $$\Bbb P(B_1)=\displaystyle\frac{4}{10},\;\Bbb P(B_2)=\displaystyle\frac{6}{10},$$ $$\Bbb P(A|B_1)=0,9,\;\;\Bbb P(A|B_2)=0,5.$$ Theo công thức xác suất đầy đủ \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)\\ &=\displaystyle\frac{4}{10}\times 0,9+\displaystyle\frac{6}{10}\times 0,5\\ &=0,66. \end{aligned} \end{equation} b) Ta cần tính xác suất $\Bbb P(B_1|A),$ theo công thức Bayes \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_1|A)&=\displaystyle\frac{\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)}{\Bbb P(A)}\\ &=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{10}\times 0,9}{0,66}\\ &=\displaystyle\frac{6}{11}\\ &\approx 0,5454. \end{aligned} \end{equation} Ví dụ 4:
Một trạm phát $2$ loại tín hiệu $A$ và $B$ với xác suất tương ứng $0,84$; $0,16$. Do có nhiều tín hiệu trên đường truyền nên $\displaystyle\frac{1}{7}$ tín hiệu $A$ bị méo thu thành tín hiệu $B$, còn $\displaystyle\frac{1}{9}$ tín hiệu $B$ thành tín hiệu $A.$
a) Tìm xác suất thu được tín hiệu $A.$
b) Giả sử tín hiệu thu được là $A$, tìm xác suất để thu được đúng tín hiệu $A$ lúc phát.
Lời giải:
a) Gọi $B_1$ là biến cố: "Trạm phát tín hiệu $A$", $B_2$ là biến cố: "Trạm phát tín hiệu $B$", $A$ là biến cố: "Thu được tín hiệu $A$", $B$ là biến cố: "Thu được tín hiệu $B$".
Ta thấy $\{B_1, B_2\}$ là hệ đầy đủ các biến cố $$\Bbb P(B_1)=0,84,\;\;\Bbb P(B_2)=0,16,$$ $$\Bbb P(A|B_2)=\displaystyle\frac{1}{9},\;\;\Bbb P(B|B_1)=\displaystyle\frac{1}{7}.$$ Theo công thức xác suất đầy đủ \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)\\ &=\Bbb P(B_1)\Bbb P(\overline{B}|B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)\\ &=\Bbb P(B_1)(1-\Bbb P(B|B_1))+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)\\ &=0,84\times\Big(1-\displaystyle\frac{1}{7}\Big)+0,16\times\displaystyle\frac{1}{9}\\ &=\displaystyle\frac{166}{225}\\ &\approx 0,7377. \end{aligned} \end{equation*} b) Ta cần tính $\Bbb P(B_1|A)$, theo công thức Bayes \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_1|A)&=\displaystyle\frac{\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)}{\Bbb P(A)}\\ &=\displaystyle\frac{0,84\times\displaystyle\frac{6}{7}}{\displaystyle\frac{166}{225}}\\ &=\displaystyle\frac{81}{83}\\ &\approx 0,9759. \end{aligned} \end{equation*} Ví dụ 5:
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là $87\%$. Trước khi cho xuất ra thị trường mỗi linh kiện đều được kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối đúng nên linh kiện đạt tiêu chuẩn được công nhận là tốt với xác suất $0,92$ và linh kiện không đảm bảo bị loại bỏ với xác suất $0,96.$
a) Tính tỉ lệ linh kiện được kết luận là đạt tiêu chuẩn chất lượng.
b) Tính xác suất để $1$ sản phẩm được chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra được kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không đạt tiêu chuẩn.
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố: "Sản phẩm kiểm tra có kết luận đạt tiêu chuẩn chất lượng", $B_1$ là biến cố: "Chọn được sản phẩm đạt tiêu chuẩn chất lượng", $B_2$ là biến cố: "Chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn chất lượng".
Ta có $\{B_1, B_2\}$ là hệ đầy đủ các biến cố và $$\Bbb P(B_1)=0,87,\;\;\;\Bbb P(B_2)=0,13.$$ Theo đề bài, ta có $$\Bbb P(A|B_1)=0,92,\;\;\;\Bbb P(\overline{A}|B_2)=0,96.$$ a) Theo công thức xác suất đầy đủ \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)\\ &=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A|B_1)+\Bbb P(B_2)(1-\Bbb P(\overline{A}|B_2))\\ &=0,87\times 0,92+0,13\times (1-0,96)\\ &=0,8056. \end{aligned} \end{equation} Vậy tỉ lệ linh kiện được kết luận là đạt tiêu chuẩn chất lượng là $80,56\%.$ b) Theo công thức Bayes, ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_2|A)&=\displaystyle\frac{\Bbb P(B_2)\Bbb P(A|B_2)}{\Bbb P(A)}\\ &=\displaystyle\frac{0,13\times 0,04}{0,8056}\\ &\approx 0,0065. \end{aligned} \end{equation} Ví dụ 6:
Trong trò chơi hái hoa có thưởng có $10$ phiếu trong đó có $5$ phiếu thưởng. $3$ người đầu tiên tham gia trò chơi, mỗi người hái $1$ hoa. Tính xác suất để hái được phiếu thưởng của từng người.
Lời giải:
Gọi $A_k$ là biến cố: "Người thứ $k$ hái được phiếu thưởng", $k=1,2,3.$
Xác suất để người thứ nhất hái được phiếu thưởng là $$\Bbb P(A_1)=\displaystyle\frac{5}{10}=\displaystyle\frac{1}{2}.$$ Ta có $$\Bbb P(\overline{A_1})=1-\Bbb P(A_1)=1-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}.$$ Vì $A_1$ là biến cố: "Người thứ nhất hái được phiếu thưởng" nên $\overline{A_1}$ là biến cố: "Người thứ nhất không hái được phiếu thưởng".
Ta thấy $\{A_1, \overline{A_1}\}$ là hệ đầy đủ các biến cố. Do đó xác suất để người thứ hai hái được phiếu thưởng, theo công thức xác suất đầy đủ, là \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A_2)&=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2|A_1)+\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(A_2|\overline{A_1})\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{4}{9}+\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{5}{9}\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}. \end{aligned} \end{equation} Gọi $B_1$ là biến cố: "Người thứ nhất hái được phiếu thưởng và người thứ hai hái được phiếu thưởng", $B_2$ là biến cố: "Người thứ nhất không hái được phiếu thưởng và người thứ hai hái được phiếu thưởng", $B_3$ là biến cố: "Người thứ nhất hái được phiếu thưởng và người thứ hai không hái được phiếu thưởng", $B_4$ là biến cố: "Người thứ nhất không hái được phiếu thưởng và người thứ hai không hái được phiếu thưởng".
Ta thấy $\{B_1, B_2, B_3, B_4\}$ là hệ đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ $$\Bbb P(A_3)=\Bbb P(B_1)\Bbb P(A_3|B_1)+\Bbb P(B_2)\Bbb P(A_3|B_2)+\Bbb P(B_3)\Bbb P(A_3|B_3)+\Bbb P(B_4)\Bbb P(A_3|B_4).$$ Theo công thức nhân xác suất \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_1)&=\Bbb P(A_1A_2)\\ &=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2|A_1)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{4}{9}\\ &=\displaystyle\frac{4}{18}, \end{aligned} \end{equation} và $$\Bbb P(A_3|B_1)=\displaystyle\frac{3}{8}.$$ Theo công thức nhân xác suất \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_2)&=\Bbb P(\overline{A_1}A_2)\\ &=\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(A_2|\overline{A_1})\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{5}{9}\\ &=\displaystyle\frac{5}{18}, \end{aligned} \end{equation} và $$\Bbb P(A_3|B_2)=\displaystyle\frac{4}{8}.$$ Theo công thức nhân xác suất \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_3)&=\Bbb P(A_1\overline{A_2})\\ &=\Bbb P(A_1)\Bbb P(\overline{A_2}|A_1)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{5}{9}\\ &=\displaystyle\frac{5}{18}, \end{aligned} \end{equation} và $$\Bbb P(A_3|B_3)=\displaystyle\frac{4}{8}.$$ Theo công thức nhân xác suất \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B_4)&=\Bbb P(\overline{A_1}.\overline{A_2})\\ &=\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(\overline{A_2}|\overline{A_1})\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{4}{9}\\ &=\displaystyle\frac{4}{18}, \end{aligned} \end{equation} và $$\Bbb P(A_3|B_4)=\displaystyle\frac{5}{8}.$$ Xác suất để người thứ ba hái được phiếu thưởng là \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A_3)&=\displaystyle\frac{4}{18}\times\displaystyle\frac{3}{8}+\displaystyle\frac{5}{18}\times\displaystyle\frac{4}{8}+\displaystyle\frac{5}{18}\times\displaystyle\frac{4}{8}+\displaystyle\frac{4}{18}\times\displaystyle\frac{5}{8}\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}. \end{aligned} \end{equation} Ví dụ 7:
Có $3$ tổ sản xuất độc lập cùng một loại sản phẩm của nhà máy, tổ $A$ sản xuất $3,5$ vạn sản phẩm với $85\%$ loại $I$, tổ $B$ sản xuất $4$ vạn sản phẩm với $75\%$ loại $I$, tổ $C$ sản xuất $2,5$ vạn sản phẩm với $90\%$ loại $I.$
a) Tính tỉ lệ sản phẩm loại $I$ của $3$ tổ.
b) Tính tỉ lệ sản phẩm loại $I$ của tổ $A$ trong số sản phẩm loại $I$ của cả $3$ tổ.
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được sản phẩm do tổ $A$ sản xuất", $B$ là biến cố: "Lấy được sản phẩm do tổ $B$ sản xuất", $C$ là biến cố: "Lấy được sản phẩm do tổ $C$ sản xuất".
Ta thấy $\{A, B, C\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố và $$\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{3,5}{10}=0,35,\;\;\Bbb P(B)=\displaystyle\frac{4}{10}=0,4,\;\;\Bbb P(C)=\displaystyle\frac{2,5}{10}=0,25.$$ Gọi $T$ là biến cố: "Lấy được sản phẩm loại $I$", khi đó $$\Bbb P(T|A)=0,85,\;\;\Bbb P(T|B)=0,75,\;\;\Bbb P(T|C)=0,9.$$ a) Theo công thức xác suất đầy đủ \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(T)&=\Bbb P(A)\Bbb P(T|A)+\Bbb P(B)\Bbb P(T|B)+\Bbb P(C)\Bbb P(T|C)\\ &=0,35\times 0,85+0,4\times 0,75+0,25\times 0,9\\ &=0,8225. \end{aligned} \end{equation} Vậy tỉ lệ sản phẩm loại $I$ của nhà máy là $82,25\%.$
b) Ta cần tính xác suất $\Bbb P(A|T)$, theo công thức Bayes \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A|T)&=\displaystyle\frac{\Bbb P(A)\Bbb P(T|A)}{\Bbb P(T)}\\ &=\displaystyle\frac{0,35\times 0,85}{0,8225}\\ &\approx 0,3617. \end{aligned} \end{equation} Vậy tỷ lệ sản phẩm loại $I$ của tổ A trong số sản phẩm loại $I$ của cả $3$ tổ là $36,17\%.$