Bài 3: Xác suất của biến cố

1) Xác suất của biến cố
$\bullet$ Trong cuộc sống hằng ngày, ta cần đo khả năng xảy ra cao hay thấp của một biến cố (sự kiện).
$\bullet$ Xác suất của biến cố $A$ là một số được ký hiệu là $\Bbb P(A)$, dùng để đo khả năng xảy ra cao hay thấp của biến cố $A$. Nếu $\Bbb P(A)$ càng lớn thì khả năng xảy ra của biến cố $A$ càng cao và ngược lại nếu $\Bbb P(A)$ càng nhỏ thì khả năng xảy ra của biến cố $A$ càng thấp.
$\bullet$ Giả sử phép thử ngẫu nhiên có $N$ kết quả và $N$ kết quả này có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó $\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{n_A}{N}$, trong đó $n_A$ là số các kết quả làm cho biến cố $A$ xảy ra.
2) Các tính chất của xác suất
$\bullet$ $\Bbb P(\emptyset)=0$, $\Bbb P(\Omega)=1.$
$\bullet$ $0\leq\Bbb P(A)\leq 1.$
$\bullet$ $\Bbb P(\overline{A})=1-\Bbb P(A).$
$\bullet$ $$\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)-\Bbb P(AB).$$ Đặc biệt khi $A$, $B$ là hai biến cố xung khắc thì $AB=\emptyset$ và do đó $$\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B).$$ $\bullet$ Với ba biến cố $A, B, C$ bất kỳ ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A\cup B\cup C)&=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C)-\Bbb P(AB)\\ &-\Bbb P(AC)-\Bbb P(BC)+\Bbb P(ABC). \end{aligned} \end{equation} Đặt biệt khi ba biến cố $A, B, C$ xung khắc từng đôi một, ta có $$\Bbb P(A\cup B\cup C)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C).$$ $\bullet$ Nếu $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là $A_iA_j=\emptyset$ với mọi $i\neq j$, ta có $$\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=\Bbb P(A_1)+\Bbb P(A_2)+\cdots+\Bbb P(A_n).$$ $\bullet$ Nếu $A, B$ là hai biến cố độc lập thì $$\Bbb P(AB)=\Bbb P(A)\Bbb P(B).$$ $\bullet$ Nếu $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố độc lập thì $$\Bbb P(A_1A_2\ldots A_n)=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2)\ldots\Bbb P(A_n).$$ Ví dụ 1:
Trên một bảng quảng cáo người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm $2$ bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm $2$ bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau $6$ giờ thắp sáng liên tục là $15\%$, việc hỏng bóng coi như độc lập
a) Tính xác suất để hệ thống I bị hỏng (được hiểu là hệ thống này không sáng nữa).
b) Tính xác suất để hệ thống II không bị hỏng.
c) Tính xác suất để hai hệ thống bị hỏng.
d) Tính xác suất để chỉ có hệ thống I bị hỏng.
Lời giải:
a) Gọi $A_1$ là biến cố: "Bóng đèn thứ nhất của hệ thống I bị hỏng", $A_2$ là biến cố: "Bóng đèn thứ hai của hệ thống I bị hỏng". Khi đó hai biến cố $A_1$ và $A_2$ độc lập và $$\Bbb P(A_1)=\Bbb P(A_2)=0,15.$$ Vì hệ thống I gồm $2$ bóng mắc nối tiếp nên hệ thống I bị hỏng khi và chỉ khi có ít nhất một bóng bị hỏng, tức là có ít nhất một biến cố xảy ra trong hai biến cố $A_1$, $A_2.$
Biến cố: "Hệ thống I bị hỏng" là $A=A_1\cup A_2$. Vì hai biến cố $A_1$, $A_2$ độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=\Bbb P(A_1\cup A_2)\\ &=\Bbb P(A_1)+\Bbb P(A_2)-\Bbb P(A_1A_2)\\ &=\Bbb P(A_1)+\Bbb P(A_2)-\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2)\\ &=0,15+0,15-0,15\times 0,15\\ &=0,2775. \end{aligned} \end{equation} b) Gọi $B_1$ là biến cố: "Bóng đèn thứ nhất của hệ thống II bị hỏng", $B_2$ là biến cố: "Bóng đèn thứ hai của hệ thống II bị hỏng". Khi đó hai biến cố $B_1$ và $B_2$ độc lập và $$\Bbb P(B_1)=\Bbb P(B_2)=0,15.$$ Vì hệ thống II gồm $2$ bóng mắc song song nên hệ thống II bị hỏng khi và chỉ khi cả hai bóng cùng bị hỏng, tức là cả hai biến cố $B_1,$ $B_2$ cùng xảy ra. Biến cố: "Hệ thống II bị hỏng" là $B=B_1B_2$. Vì hai biến cố $B_1$, $B_2$ độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B)&=\Bbb P(B_1B_2)\\ &=\Bbb P(B_1)\Bbb P(B_2)\\ &=0,15\times 0,15\\ &=0,0225. \end{aligned} \end{equation} Biến cố: "Hệ thống II không bị hỏng" là $\overline{B}$. Do đó \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{B})&=1-\Bbb P(B)\\ &=1-0,0225\\ &=0,9775. \end{aligned} \end{equation} c) Vì $A$ là biến cố: "Hệ thống I bị hỏng" và $B$ là biến cố: "Hệ thống II bị hỏng" nên $AB$ là biến cố: "Cả hai hệ thống bị hỏng". Vì hai biến cố $A$, $B$ độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(AB)&=\Bbb P(A)\Bbb P(B)\\ &=0,2775\times 0,0225\\ &\approx 0,0062. \end{aligned} \end{equation} d) Biến cố: "Chỉ có hệ thống I bị hỏng" là tích của hai biến cố: "Hệ thống I bị hỏng" và biến cố: "Hệ thống II không bị hỏng". Do đó biến cố: "Chỉ có hệ thống I bị hỏng" là $A\overline{B}$. Vì hai biến cố $A$, $\overline{B}$ độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A\overline{B})&=\Bbb P(A)\Bbb P(\overline{B})\\ &=0,2775\times 0,9775\\ &\approx 0,2713. \end{aligned} \end{equation} Ví dụ 2:
Một khoa điều trị có $3$ bệnh nhân với khả năng cần cấp cứu trong mỗi ca trực của các bệnh nhân tương ứng là $50\%, 60\%, 80\%$. Tìm xác suất xảy ra các tình huống sau đây:
a) Có ít nhất một bệnh nhân phải cấp cứu.
b) Chỉ có một bệnh nhân phải cấp cứu.
c) Cả ba bệnh nhân đều phải cấp cứu.
Lời giải:
Gọi $A_k$ là biến cố: "Bệnh nhân thứ $k$ phải cấp cứu". Khi đó $3$ biến cố $A_1, A_2, A_3$ là độc lập và $$\Bbb P(A_1)=0,5; \Bbb P(A_2)=0,6; \Bbb P(A_3)=0,8.$$ Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A_1})&=1-\Bbb P(A_1)\\ &=1-0,5\\ &=0,5, \end{aligned} \end{equation} \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A_2})&=1-\Bbb P(A_2)\\ &=1-0,6\\ &=0,4, \end{aligned} \end{equation} \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A_3})&=1-\Bbb P(A_3)\\ &=1-0,8\\ &=0,2. \end{aligned} \end{equation} a) Gọi $A$ là biến cố: "Có ít nhất một bệnh nhân phải cấp cứu", khi đó $\overline{A}$ là biến cố: "Không có bệnh nhân nào phải cấp cứu" Do đó $$\overline{A}=\overline{A_1}.\overline{A_2}.\overline{A_3}.$$ Vì ba biến cố $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$, $\overline{A_3}$ độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(\overline{A})&=\Bbb P(\overline{A_1}.\overline{A_2}.\overline{A_3})\\ &=\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(\overline{A_2})\Bbb P(\overline{A_3})\\ &=0,5\times 0,4\times 0,2\\ &=0,04. \end{aligned} \end{equation} Xác suất có ít nhất một bệnh nhân phải cấp cứu là \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A)&=1-\Bbb P(\overline{A})\\ &=1-0,04\\ &=0,96. \end{aligned} \end{equation} b) Biến cố: "Chỉ có một bệnh nhân phải cấp cứu" là $$B=A_1.\overline{A_2}.\overline{A_3}\cup \overline{A_1}. A_2.\overline{A_3}\cup \overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3.$$ Vì các biến cố $A_1.\overline{A_2}.\overline{A_3}$, $\overline{A_1}. A_2.\overline{A_3}$, $\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3$ đôi một xung khắc nên $$\Bbb P(B)=\Bbb P(A_1.\overline{A_2}.\overline{A_3})+\Bbb P(\overline{A_1}. A_2.\overline{A_3})+\Bbb P(\overline{A_1}.\overline{A_2}.A_3).$$ Vì các biến cố $A_1$, $A_2$, $A_3$ là độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(B)&=\Bbb P(A_1)\Bbb P(\overline{A_2})\Bbb P(\overline{A_3})+\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(A_2)\Bbb P(\overline{A_3})\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;+\Bbb P(\overline{A_1})\Bbb P(\overline{A_2})\Bbb P(A_3)\\ &=0,5\times 0,4\times 0,2+0,5\times 0,6\times 0,2\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;+0,5\times 0,4\times 0,8\\ &=0,26. \end{aligned} \end{equation} c) Biến cố: "Cả ba bệnh nhân đều phải cấp cứu" là $A_1A_2A_3$ Vì các biến cố $A_1$, $A_2$, $A_3$ là độc lập nên \begin{equation}\notag \begin{aligned} \Bbb P(A_1A_2A_3)&=\Bbb P(A_1)\Bbb P(A_2)\Bbb P(A_3)\\ &=0,5\times 0,6\times 0,8\\ &=0,24. \end{aligned} \end{equation}